Найдите целые значения \(\displaystyle n{\small ,}\) при которых дробь
\(\displaystyle \frac{n^{\,2} + 7n + 18}{n + 2}\)
принимает целые значения.
Запишите найденные значения \(\displaystyle n\) в поле ответов в порядке возрастания без пробелов через запятую.
Требуется найти целые значения \(\displaystyle n{\small ,}\) при которых
\(\displaystyle \frac{n^{\,2} + 7n + 18}{n + 2}\in {\bf Z}{\small .}\)
Для этого представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Получим:
\(\displaystyle \frac{n^{\,2} + 7n + 18}{n + 2}={n + 5} + {\frac{8}{n + 2}}{\small .}\)
Двучлен \(\displaystyle n + 5 \in {\bf Z}\) при любых \(\displaystyle n \in {\bf Z}{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle {n + 5} + {\frac{8}{n + 2}}\in {\bf Z}\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle \frac{8}{n + 2}\in {\bf Z}{\small .}\)
Дробь \(\displaystyle \frac{8}{n + 2}\) принимает целые значения тогда и только тогда, когда \(\displaystyle n + 2\) является делителем числа \(\displaystyle 8{\small .}\)
Выпишем все целые делители числа \(\displaystyle 8{\small :}\)
\(\displaystyle \pm1{\small ,}\,\pm2{\small ,}\,\pm4{\small ,}\,\pm8{\small .}\)
\(\displaystyle {-3}{\small ,}{-1}{\small ,}{-4}{\small ,}\,\,{0}{\small ,}\,\,{-6}{\small ,}\,\,{2}{\small ,}\,\,{-10}{\small ,}\,\,{6}{\small .}\)
В ответ запишем найденные значения \(\displaystyle n\) в порядке возрастания, как это требовалось в условии.
Ответ: \(\displaystyle -10{\small,} -6{\small,}-4{\small,}-3{\small,} -1{\small,}0{\small,}2{\small,}6{\small.}\)