Найдите все целые значения, которые может принимать дробь
\(\displaystyle \frac{n^{\,2} + 7n + 13}{n + 2}\)
при целых значениях \(\displaystyle n{\small .}\)
Запишите найденные значения в поле ответов в порядке возрастания без пробелов через запятую.
1. Сначала найдём все целые значения \(\displaystyle n{\small ,}\) при которых дробь принимает целые значения.
2. Потом найдём значения дроби, соответствующие найденным значениям \(\displaystyle n{\small .}\)
1. Найдём все \(\displaystyle n{\in \bf Z}{\small ,}\) при которых \(\displaystyle \frac{n^{\,2} + 7n + 13}{n + 2}{\in \bf Z}{\small .}\)
Для этого представим данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Получим:
\(\displaystyle \frac{n^{\,2} + 7n + 13}{n + 2}={n + 5} + {\frac{3}{n + 2}}{\small .}\)
Двучлен \(\displaystyle n + 5 \in {\bf Z}\) при любых \(\displaystyle n \in {\bf Z}{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle {n + 5} + {\frac{3}{n + 2}}\in {\bf Z}\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle \frac{3}{n + 2}\in {\bf Z}{\small .}\)
Дробь \(\displaystyle \frac{3}{n + 2}\) принимает целые значения тогда и только тогда, когда \(\displaystyle n + 2\) является делителем числа \(\displaystyle 3{\small .}\)
Выпишем все целые делители числа \(\displaystyle 3{\small :}\) \(\displaystyle \pm1{\small ,}\,\pm3{\small .}\)
\(\displaystyle {-5}{\small ,}{-3}{\small ,}{-1}{\small ,}\,\,{1}{\small .}\)
2. Найдём значения исходной дроби при найденных значениях \(\displaystyle n {\small .}\)
Для этого будем подставлять в выражение \(\displaystyle {n + 5} + {\frac{3}{n + 2}}{\small ,}\) равное исходной дроби, найденные значения\(\displaystyle n {\small.}\)
Таким образом, при целых \(\displaystyle n\) дробь \(\displaystyle \frac{n^{\,2} + 7n + 13}{n + 2}\) принимает два целых значения: \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle 7{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -1{\small,} 7{\small.}\)