Skip to main content

Теория: 03 Применение теоремы Пифагора при решении задач

Задание

Найдите основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна \(\displaystyle 4\small,\) а высота, опущенная на основание, равна отрезку, соединяющему середину основания с серединой боковой стороны.

\(\displaystyle \color{red}{?}=\)
4\sqrt{3}
Решение

Введём обозначения:

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle AB=BC=4{\small;}\)
  • точка \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle BH\) – высота.

 

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

Значит, точка \(\displaystyle H\) – середина основания \(\displaystyle AC{\small:}\)

\(\displaystyle AH=CH=\frac{1}{2}AC{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle MH\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABC\small.\)

\(\displaystyle MH=2{\small.}\)

По условию

\(\displaystyle BH=MH=2{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle BCH{\small.}\)

  • \(\displaystyle BC=4\) – гипотенуза;
  • \(\displaystyle BH=2\) – катет.

 

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\(\displaystyle BH^2+CH^2=BC^2{\small.}\)

Найдём \(\displaystyle CH{\small:}\)

\(\displaystyle CH^2=BC^2-BH^2{\small;}\)

\(\displaystyle CH^2=4^2-2^2=16-4=12{\small.}\)

Так как длина отрезка положительна, то

\(\displaystyle CH=2\sqrt{3}{\small.}\)

Найдём длину \(\displaystyle AC{\small.}\)

Так как \(\displaystyle CH=\frac{1}{2}AC{\small,}\) то

\(\displaystyle AC=2CH=2 \cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 4\sqrt{3}\small.\)