Skip to main content

Теория: 03 Применение теоремы Пифагора при решении задач

Задание

В прямоугольной трапеции \(\displaystyle ABCD\) с основаниями \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) угол \(\displaystyle BAD\) прямой, \(\displaystyle AB=12 {\small,}\) \(\displaystyle BC=CD=13 {\small.}\) Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle \color{red}{l}\) – средняя линия трапеции \(\displaystyle ABCD {\small. }\)

Тогда 

\(\displaystyle \color{red}{l}=\frac{BC+AD}{2} {\small.}\)

Найдем длину отрезка \(\displaystyle AD {\small.}\)

Из точки \(\displaystyle C\) проведём высоту \(\displaystyle CH\) к стороне \(\displaystyle AD {\small.}\)

Рассмотрим четырёхугольник \(\displaystyle ABCH {\small:}\)

  • \(\displaystyle AB \parallel CH \ \ (\)так как \(\displaystyle AB\perp AD\) и \(\displaystyle CH\perp AD ) {\small,}\) 
  • \(\displaystyle BC \parallel AH {\small,}\)
  • \(\displaystyle \angle BAH=90^{\circ} {\small.}\)

  Следовательно, \(\displaystyle ABCH \) – прямоугольник. Значит,

\(\displaystyle AH=BC=13 {\small,}\)

\(\displaystyle CH=AB=12 {\small.}\)

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle CDH {\small.}\)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle CD^2=CH^2+HD^2 {\small,}\)

\(\displaystyle HD^2=CD^2-CH^2 {\small,}\)

\(\displaystyle HD^2=13^2-12^2=169-144=25=5^2 {\small.}\)

Так как длина отрезка положительна, то

\(\displaystyle HD=5{\small.}\)

 

Получаем

\(\displaystyle AD=AH+HD=13+5=18 {\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \color{red}{l}=\frac{BC+AD}{2}=\frac{13+18}{2}=\frac{31}{2} =15{,}5 {\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle 15{,}5 {\small.}\)