Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 14\) и \(\displaystyle 50 \small,\) боковая сторона равна \(\displaystyle 30 \small.\) Найдите длину диагонали трапеции.
Пусть \(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция, в которой:
Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, то \(\displaystyle \\ BHKC \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H K = BC= 14\small.\) |  |
Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\) Значит, \(\displaystyle \begin{aligned} AH&=DK=\frac{AD-BC}{2}=\\ \\ &=\frac{50-14}{2}=\frac{36}{2}=18 \small. \end{aligned}\) |  |
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle CKD\small.\)
Найдем высоту \(\displaystyle CK\) трапеции. По теореме Пифагора \(\displaystyle CD^2=CK^2+KD^2 {\small.}\) Значит, \(\displaystyle CK^2=CD^2-KD^2\small,\) \(\displaystyle CK^2=30^2-18^2=900-324=576=24^2\small.\) |  |
Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle CK=24\small.\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ACK \small,\) в котором:
Найдем диагональ \(\displaystyle AC\) трапеции. По теореме Пифагора \(\displaystyle AC^2=AK^2+CK^2 {\small,}\) \(\displaystyle AC^2=32^2+24^2=1024+576=1600=40^2 \small.\) |  |
Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AC=40 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 40{\small .}\)