Skip to main content

Теория: 03 Применение теоремы Пифагора при решении задач

Задание

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны \(\displaystyle 80\) и \(\displaystyle 84 {\small.}\) Найдите периметр параллелограмма.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм с диагоналями \(\displaystyle AC=84\) и \(\displaystyle BD=80 {\small,}\) \(\displaystyle \\ O\) – точка пересечения диагоналей.

По условию диагонали данного параллелограмма являются биссектрисами.

Правило

Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Значит, \(\displaystyle ABCD\) – ромб. Тогда

  • \(\displaystyle AB=BC=CD=AD {\small;} \)
  • \(\displaystyle AC \perp BD {\small;} \)
  • \(\displaystyle AO=OC= \frac{1}{2} \cdot AC=\frac{1}{2} \cdot 84=42 {\small;} \\ \)
  • \(\displaystyle BO=OD= \frac{1}{2} \cdot BD=\frac{1}{2} \cdot 80=40 {\small.}\)

 

Требуется найти периметр \(\displaystyle P_{ABCD}\) ромба. Так как стороны ромба равны, то 

\(\displaystyle P_{ABCD}=4 \cdot AB {\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABO {\small.}\)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle AB^2=AO^2+BO^2 {\small,}\)

\(\displaystyle AB^2=42^2+40^2 =1764+1600=3364=58^2{\small.}\)

Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AB>0 {\small.}\)

\(\displaystyle AB=58 {\small.}\)

 

Получаем

\(\displaystyle P_{ABCD}=4 \cdot AB = 4 \cdot 58= 232 {\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle 232 {\small. }\)