Skip to main content

Теория: Применение правила умножения дробей для преобразования выражений

Задание

Найдите произведение дробей и сократите получившуюся дробь:
 

\(\displaystyle \frac{16-8p+p^2}{36q^2+12q+1}\cdot \frac{12q^3+2q^2}{8-2p}=\)
\frac{q^2(4-p)}{6q+1}
Решение

Воспользуемся правилом.

Правило

Умножение дробей

Чтобы перемножить две дроби, надо числитель перемножить с числителем и знаменатель со знаменателем.

\(\displaystyle \frac{x}{y}\cdot \frac{ a}{ b } = \frac{ x\cdot a}{ y\cdot b } \)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{16-8p+p^2}{36q^2+12q+1}\cdot \frac{12q^3+2q^2}{8-2p}=\frac{(16-8p+p^2)\cdot (12q^3+2q^2)}{(36q^2+12q+1)\cdot (8-2p)}{\small .}\)


Разложим выражения в числителе и знаменателе на множители:

  • \(\displaystyle 16-8p+p^2=4^2-2\cdot4\cdot p+p^2=(4-p)^2\small,\)
  • \(\displaystyle 12q^3+2q^2=2q^2(6q+1)\small,\)
  • \(\displaystyle 36q^2+12q+1=(6q)^2+2\cdot6q\cdot1+1^2= (6q+1)^2\small,\)
  • \(\displaystyle 8-2p=2(4-p){\small .}\)


Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{(16-8p+p^2)\cdot (12q^3+2q^2)}{(36q^2+12q+1)\cdot (8-2p)}= \frac{(4-p)^2 \cdot 2q^2(6q+1)}{{(6q+1)^2}\cdot 2(4-p)} = \frac{2q^2(4-p)^2 (6q+1)}{2(4-p)(6q+1)^2}{\small .}\)


Сокращая, получаем:

\(\displaystyle \frac{2q^2(4-p)^2 (6q+1)}{2(4-p)(6q+1)^2} = \frac{q^2(4-p)}{6q+1}\small. \)

Ответ: \(\displaystyle \frac{q^2(4-p)}{6q+1} \small.\)