Skip to main content

Теория: Применение правила умножения дробей для преобразования выражений

Задание

Найдите произведение дробей и сократите получившуюся дробь:
 

\(\displaystyle \frac{x^2+5xy-2x-10y}{x^2-25y^2}\cdot \frac{x-5y}{x^2-4}=\)
\frac{1}{x+2}
Решение

Воспользуемся правилом.

Правило

Умножение дробей

Чтобы перемножить две дроби, надо числитель перемножить с числителем и знаменатель со знаменателем.

\(\displaystyle \frac{x}{y}\cdot \frac{ a}{ b } = \frac{ x\cdot a}{ y\cdot b } \)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{x^2+5xy-2x-10y}{x^2-25y^2}\cdot \frac{x-5y}{x^2-4}=\frac{(x^2+5xy-2x-10y)\cdot (x-5y)}{(x^2-25y^2)\cdot (x^2-4)}{\small .}\)


Разложим выражения в числителе и знаменателе на множители.

\(\displaystyle \,\)•\(\displaystyle \color{black}{x^2+5xy-2x-10y=(x+5y)(x-2)\small,} \)

  • \(\displaystyle x^2-25y^2=x^2-(5y)^2=(x-5y)(x+5y)\small,\)
     
  • \(\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2){\small .}\)


Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{(x^2+5xy-2x-10y)\cdot (x-5y)}{(x^2-25y^2)\cdot (x^2-4)}= \frac{(x+5y)(x-2)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)(x-2)(x+2)} {\small .}\)


Сокращая, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{{\cancel{\color{blue}{(x+5y)}}}\cancel{\color{green}{(x-2)}}\cancel{\color{orange}{(x-5y)}}}{{\cancel{\color{orange}{(x-5y)}}\cancel{\color{blue}{(x+5y)}}\cancel{\color{green}{(x-2)}}}(x+2)}=\frac{1}{x+2} {\small .}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{x+2} \small.\)