Решите уравнение методом замены переменной:
\(\displaystyle \frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{x-2}-6=0{\small.}\)
Если уравнение имеет единственный корень, оставьте последнее поле ответа пустым.
Если уравнение не имеет корней, оставьте оставьте оба поля ответа пустымыми.
\(\displaystyle \frac{1}{(x-2)^2}+\frac{1}{x-2}-6=0\)
имеют смысл при
\(\displaystyle x=\not 2{\small .}\)
Заметим, что
\(\displaystyle \frac{1}{(x-2)^2}=\left(\frac{1}{x-2}\right)^2{\small}\)
и запишем уравнение в виде:
\(\displaystyle \left(\color{blue}{ \frac{1}{x-2}}\right)^2 + \color{blue}{ \frac{1}{x-2}}-6=0{\small.}\)
Видим, что в уравнении повторяется одно и то же выражение \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{1}{x-2}}{\small.}\)
Тогда, если сделать замену переменной \(\displaystyle t=\frac{1}{x-2} {\small,}\) то \(\displaystyle \left( \frac{1}{x-2}\right)^2=t^2{\small.}\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\displaystyle {t^2}+{t}-6=0{\small.}\)
2. Получили квадратное уравнение. Решим его.
\(\displaystyle t_1=-3{\small,}\)
\(\displaystyle t_2=2{\small.}\)
3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle t=\frac{1}{x-2} {\small,}\) то
\(\displaystyle -3=\frac{1}{x-2} \) или \(\displaystyle 2=\frac{1}{x-2}{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде:
\(\displaystyle \frac{1}{x-2} =-3\) или \(\displaystyle \frac{1}{x-2} =2{\small.}\)
\(\displaystyle x=\frac{5}{3}{\small }\) и \(\displaystyle x=\frac{5}{2}{\small.}\)
И при \(\displaystyle x=\frac{5}{3}{\small,}\) и при \(\displaystyle x=\frac{5}{2}{\small}\) обе части исходного уравнения имеют смысл.
Значит, \(\displaystyle x_1=\frac{5}{3}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{5}{2}\) являются корнями исходного уравнения.
| Ответ: | \(\displaystyle x_1=\frac{5}{3}{\small,}\) |
| \(\displaystyle x_2=\frac{5}{2}{\small. }\) |