Решите уравнение методом замены переменной:
\(\displaystyle \frac{x-2}{x}-\frac{4x}{7x-14}=\frac{3}{7} {\small.}\)
Если уравнение имеет единственный корень, оставьте последнее поле ответа пустым.
Если уравнение не имеет корней, оставьте оставьте оба поля ответа пустымыми.
\(\displaystyle \frac{x-2}{x}-\frac{4x}{7x-14}=\frac{3}{7}\)
имеет смысл при
\(\displaystyle x =\not 0\) и \(\displaystyle x =\not 2{\small.}\)
1. Вынесем в знаменателе второй дроби общий множитель
\(\displaystyle \frac{4x}{7x-14}=\frac{4x}{7(x-2)}{\small}\)
и перепишем уравнение в виде:
\(\displaystyle \frac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x}}-\frac{4 \color{blue}{x}}{7(\color{blue}{x-2})}=\frac{3}{7} {\small,}\\[-7pt]\)
\(\displaystyle \frac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x}}-\frac{4}{7} \cdot \frac{ \color{blue}{x}}{\color{blue}{x-2}}=\frac{3}{7} {\small.}\)
Видим, что дроби \(\displaystyle \frac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x}}\) и \(\displaystyle \frac{ \color{blue}{x}}{\color{blue}{x-2}} \) взаимнообратные:
\(\displaystyle \frac{ \color{blue}{x}}{\color{blue}{x-2}} =\frac{1}{\phantom{1}\dfrac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x}}\phantom{1}} \)
Тогда, если сделать замену переменной
\(\displaystyle t=\frac{x-2}{x} {\small,}\) то \(\displaystyle \frac{x}{x-2}= \frac{1}{t}{\small .}\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\displaystyle t-\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{t}=\frac{3}{7}{\small ,}\\[-7pt]\)
\(\displaystyle t-\frac{4}{7t}=\frac{3}{7}{\small .}\)
2. Решим полученное уравнение.
Перенесем все члены уравнения в левую часть
\(\displaystyle t-\frac{4}{7t}-\frac{3}{7}=0{\small .}\)
и приведём их к общему знаменателю.
\(\displaystyle \frac {7t^2-3t-4}{7t}=0{\small ,}\)
\(\displaystyle \begin{cases}7t^2-3t-4=0{\small , } \\ 7t =\not 0{\small . } \end{cases}\)
Решим её.
Квадратное уравнение \(\displaystyle 7t^2-3t-4=0\) имеет корни \(\displaystyle t=1\) и \(\displaystyle t=-\frac{4}{7}{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle t=1\) и \(\displaystyle t=-\frac{4}{7}\) являются решением системы.
3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle t=\frac{x-2}{x}{\small,}\) то
\(\displaystyle 1=\frac{x-2}{x}\) или \(\displaystyle -\frac{4}{7}=\frac{x-2}{x}{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде:
\(\displaystyle \frac{x-2}{x}=1\) или \(\displaystyle \frac{x-2}{x}=-\frac{4}{7}{\small}\)
и решим их.
Уравнение \(\displaystyle \frac{x-2}{x}=1\) не имеет решений.
\(\displaystyle x=\frac{14}{11}\) – решение уравнения \(\displaystyle \frac{x-2}{x}=-\frac{4}{7}{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle x=\frac{14}{11}\) является корнем исходного уравнения.
| Ответ: | \(\displaystyle x=\frac{14}{11}{\small.}\) |