Решите уравнение методом замены переменной:
\(\displaystyle 5\left( \frac{x+2}{x-1}\right)^2- \frac{2x+4}{x-1}-3=0{\small.}\)
Если уравнение имеет единственный корень, оставьте последнее поле ответа пустым.
Если уравнение не имеет корней, оставьте оставьте оба поля ответа пустымыми.
\(\displaystyle 5\left( \frac{x+2}{x-1}\right)^2- \frac{2x+4}{x-1}-3=0\)
имеют смысл при
\(\displaystyle x=\not 1{\small .}\)
1. В уравнении присутствуют:
- \(\displaystyle \left( \frac{x+2}{x-1}\right)^2\)– квадрат дроби \(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}{ \small ,}\)
- \(\displaystyle \frac{2x+4}{x-1}\)– дробь с тем же знаменателем, что и \(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}{\small.}\)
Заметим, что в числителе второй дроби есть общий множитель \(\displaystyle 2{\small.}\) Вынесем его за скобку
\(\displaystyle \frac{2x+4}{x-1}=\frac{2(x+2)}{x-1}=2\cdot \frac{x+2}{x-1}\)
и перепишем уравнение в виде:
\(\displaystyle 5\left(\color{blue}{ \frac{x+2}{x-1}}\right)^2- 2 \cdot \color{blue}{ \frac{x+2}{x-1}}-3=0{\small.}\)
Видим, что в уравнении повторяется одно и то же выражение \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{x+2}{x-1}}{\small.}\)
Тогда, если сделать замену переменной
\(\displaystyle t=\frac{x+2}{x-1} {\small,}\) то \(\displaystyle \left( \frac{x+2}{x-1}\right)^2=t^2{\small.}\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\displaystyle 5t^2-2t-3=0{\small.}\)
2. Получили квадратное уравнение. Решим его.
\(\displaystyle t_1=1{\small,}\)
\(\displaystyle t_2=-\frac{3}{5}{\small.}\)
3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle t=\frac{x+2}{x-1} {\small,}\) то
\(\displaystyle 1=\frac{x+2}{x-1}\) или \(\displaystyle -\frac{3}{5}=\frac{x+2}{x-1}{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде:
\(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=1\) или \(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=-\frac{3}{5}{\small}\)
и решим их.
Уравнение \(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=1\) не имеет решениий.
Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции:
\(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=\frac{1}{1}{\small, }\)
\(\displaystyle 1 \cdot (x+2)=1 \cdot (x-1){\small,}\)
\(\displaystyle x+2=x-1{\small,}\)
\(\displaystyle 0\cdot x=-3{\small,}\)
нет решений.
\(\displaystyle x=-\frac{7}{8}\)– решение уравнения \(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=-\frac{3}{5}{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle x=-\frac{7}{8}\) является корнем исходного уравнения.
| Ответ: | \(\displaystyle x=-\frac{7}{8}{\small. }\) |