Решите уравнение методом замены переменной:
\(\displaystyle \frac{x+4}{x-2}+\frac{x-2}{x+4}=\frac{26}{5} {\small.}\)
Если уравнение имеет единственный корень, оставьте последнее поле ответа пустым.
Если уравнение не имеет корней, оставьте оставьте оба поля ответа пустымыми.
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle \frac{x+4}{x-2}+\frac{x-2}{x+4}=\frac{26}{5} \)
имеет смысл при
\(\displaystyle x=\not 2\) и \(\displaystyle x=\not-4{\small .}\)
1. Заметим, что
\(\displaystyle \frac{x-2}{x+4} =\frac{1}{\phantom{1}\dfrac{x+4}{x-2}\phantom{1}} \)
и сделаем замену переменной
\(\displaystyle t=\frac{x+4}{x-2} {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{x-2}{x+4}= \frac{1}{t}{\small .}\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\displaystyle t+ \frac{1}{t}=\frac{26}{5}{\small .}\)
2. Решим полученное дробно-рациональное уравнение.
Перенесем все члены уравнения в левую часть
\(\displaystyle t+ \frac{1}{t}-\frac{26}{5}=0{\small }\)
и приведем их к общему знаменателю.
\(\displaystyle \frac {5t^2-26t+5}{5t}=0{\small ,} \)
\(\displaystyle \begin{cases} 5t^2-26t+5=0{\small , } \\ 5t=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle 5t^2-26t+5=0\) имеет корни \(\displaystyle t=5\) и \(\displaystyle t=\frac{1}{5}{\small .}\)
Найдем дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}=(-26)^2-4 \cdot 5 \cdot 5=676-100=576{\small .}\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm{D}}=\sqrt{576}=24{\small.}\)
Значит, корни уравнения равны
\(\displaystyle t_1=\frac{-(-26)+24}{2\cdot 5}=\frac{50}{10}=5{\small ,}\)
\(\displaystyle t_2=\frac{-(-26)-24}{10}=\frac{2}{10}=-\frac{1}{5}{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle t=5\) и \(\displaystyle t=\frac{1}{5}\) являются решением системы.
3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle {t}=\frac{x+4}{x-2}{\small,}\) то
\(\displaystyle 5=\frac{x+4}{x-2}\) или \(\displaystyle \frac{1}{5}=\frac{x+4}{x-2}{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде:
\(\displaystyle \frac{x+4}{x-2}=\frac{5}{1}{\small,}\qquad\frac{x+4}{x-2}=\frac{1}{5}{\small.}\)
\(\displaystyle x=3{,}5{\small }\) и \(\displaystyle x=-5{,}5{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle x_1=3{,}5\) и \(\displaystyle x_2=-5{,}5\) являются корнями исходного уравнения.
| Ответ: | \(\displaystyle x_1=3{,}5{\small,}\) |
| \(\displaystyle x_2=-5{,}5{\small .}\) |