Решите уравнение методом замены переменной:
\(\displaystyle \left( \frac{1}{x}\right)^2+2\cdot\frac{1}{x}-3=0{\small.}\)
Если уравнение имеет единственный корень, оставьте последнее поле ответа пустым.
Если уравнение не имеет корней, оставьте оставьте оба поля ответа пустымыми.
\(\displaystyle \left( \frac{1}{x}\right)^2+2\cdot\frac{1}{x}-3=0\)
имеют смысл при \(\displaystyle x=\not 0{\small .}\)
1. Заметим, что в уравнении
\(\displaystyle \left(\color{blue}{ \frac{1}{x}}\right)^2+2\cdot\color{blue}{\frac{1}{x}}-3=0{\small}\)
повторяется одно и то же выражение \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{1}{x}}{\small.}\)
Тогда, если сделать замену переменной \(\displaystyle t=\frac{1}{x} {\small,}\) то \(\displaystyle \left( \frac{1}{x}\right)^2=t^2{\small.}\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\displaystyle t^2+2t-3=0{\small.}\)
2. Получили квадратное уравнение. Решим его.
\(\displaystyle t_1=-3{\small,}\)
\(\displaystyle t_2=1{\small.}\)
3. Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle {t}=\frac{1}{x}\) и \(\displaystyle t=-3\) или \(\displaystyle t=1{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle -3=\frac{1}{x}\) или \(\displaystyle 1=\frac{1}{x}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\) или \(\displaystyle x=1{\small.}\)
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=-\frac{1}{3}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=1{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=-\frac{1}{3}\) и \(\displaystyle x_2=1{\small.}\)