Skip to main content

Теория: Корень \(\displaystyle n\)-й степени. Определение и вычисление арифметических корней

Задание

Найдите значение выражения

\(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\)
\frac{1}{2}
.
Решение

Требуется найти арифметический корень четвёртой степени из числа \(\displaystyle \frac{1}{16}{\small .}\)

Определение

Арифметический корень \(\displaystyle n\)-й степени

Арифметическим корнем \(\displaystyle n\)-й степени \(\displaystyle (n \in \N{\small,}\)\(\displaystyle n \geqslant2)\) из неотрицательного числа \(\displaystyle a\) называется такое неотрицательное число, \(\displaystyle n\)-я степень которого равна \(\displaystyle a{\small .}\)

\(\displaystyle \sqrt[n]{a}=b \Leftrightarrow b^n=a {\small ,}\)  \(\displaystyle a \geqslant 0{\small ,}\,\,b \geqslant 0{\small .}\)

Значит, нам надо найти неотрицательное число, четвёртая степень которого равна \(\displaystyle \frac{1}{16}{\small .}\)

\(\displaystyle \left(\color{green}{\frac{1}{2}}\right)^{\!\color{red}{4}}= \frac{1}{16}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \sqrt[\color{red}{\bf4}]{\frac{1}{16}}=\color{green}{\frac{1}{2}}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}{\small .}\)