Найдите значение выражения
Требуется найти арифметический корень четвёртой степени из числа \(\displaystyle \frac{81}{2401}{\small .}\)
Арифметический корень \(\displaystyle n\)-й степени
Арифметическим корнем \(\displaystyle n\)-й степени \(\displaystyle (n \in \N{\small,}\)\(\displaystyle n \geqslant2)\) из неотрицательного числа \(\displaystyle a\) называется такое неотрицательное число, \(\displaystyle n\)-я степень которого равна \(\displaystyle a{\small .}\)
\(\displaystyle \sqrt[n]{a}=b \Leftrightarrow b^n=a {\small ,}\) \(\displaystyle a \geqslant 0{\small ,}\,\,b \geqslant 0{\small .}\)
Значит, требуется найти неотрицательное число, четвёртая степень которого равна \(\displaystyle \frac{81}{2401}{\small .}\)
\(\displaystyle \left(\color{green}{\frac{3}{7}}\right)^{\!\color{red}{4}}=\frac{81}{2401}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \sqrt[\color{red}{\bf4}]{\frac{81}{2401}}=\color{green}{\frac{3}{7}}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{81}{2401}}=\frac{3}{7}{\small .}\)