Найдите значение выражения
\(\displaystyle (2{,}4)^{-\frac{3}{5}}\cdot (2{,}4)^{\frac{13}{5}}\small.\)
Используем
Свойства степени с рациональным показателем
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle r_1\) и \(\displaystyle r_2\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 1) \ a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}\small,\)
\(\displaystyle 2)\ a^{r_1}: a^{r_2}=a^{r_1-r_2}\small,\)
\(\displaystyle 3)\ \left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1\cdot r_2} \small.\ \ \ \)
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle b>0\small,\) \(\displaystyle r\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 4) \ (ab)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\small,\)
\(\displaystyle 5)\ \left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}\small.\ \ \ \ \)
По свойству \(\displaystyle 1)\) при \(\displaystyle a=2{,}4\small,\) \(\displaystyle r_1=-\frac{3}{5}\) и \(\displaystyle r_2=\frac{13}{5}\small\) получим
\(\displaystyle (2{,}4)^\color{red}{-\frac{3}{5}}\cdot (2{,}4)^\color{blue}{\frac{13}{5}}=(2{,}4)^{\color{red}{-\frac{3}{5}}+\color{blue}{\frac{13}{5}}}=(2{,}4)^{\frac{10}{5}}=(2{,}4)^{2}=5{,}76\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 5{,}76\small.\)