Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left(\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{4}{5}}\right)^{-\frac{5}{2}}\small.\)
Используем
Свойства степени с рациональным показателем
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle r_1\) и \(\displaystyle r_2\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 1) \ a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}\small,\)
\(\displaystyle 2)\ a^{r_1}: a^{r_2}=a^{r_1-r_2}\small,\)
\(\displaystyle 3)\ \left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1\cdot r_2} \small.\ \ \ \)
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle b>0\small,\) \(\displaystyle r\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 4) \ (ab)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\small,\)
\(\displaystyle 5)\ \left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}\small.\ \ \ \ \)
По свойству \(\displaystyle 3)\) при \(\displaystyle a=\frac{1}{6}\small,\) \(\displaystyle r_1=\frac{4}{5}\) и \(\displaystyle r_2=-\frac{5}{2}\small\) получим
\(\displaystyle \left(\left(\frac{1}{6}\right)^\color{red}{\frac{4}{5}}\right)^\color{blue}{-\frac{5}{2}}=\left(\frac{1}{6}\right)^{\color{red}{\frac{4}{5}}\cdot \left(\color{blue}{-\frac{5}{2}}\right)}=\left(\frac{1}{6}\right)^{-2}=36\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 36\small.\)