Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{3}{5}} : \left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{8}{5}}\small.\)
Используем
Свойства степени с рациональным показателем
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle r_1\) и \(\displaystyle r_2\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 1) \ a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}\small,\)
\(\displaystyle 2)\ a^{r_1}: a^{r_2}=a^{r_1-r_2}\small,\)
\(\displaystyle 3)\ \left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1\cdot r_2} \small.\ \ \ \)
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle b>0\small,\) \(\displaystyle r\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 4) \ (ab)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\small,\)
\(\displaystyle 5)\ \left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}\small.\ \ \ \ \)
По свойству \(\displaystyle 2)\) при \(\displaystyle a=\frac{5}{3}\small,\) \(\displaystyle r_1=\frac{3}{5}\) и \(\displaystyle r_2=\frac{8}{5}\small\) получим
\(\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^\color{red}{\frac{3}{5}}: \left(\frac{5}{3}\right)^\color{blue}{\frac{8}{5}}=\left(\frac{5}{3}\right)^{\color{red}{\frac{3}{5}}-\color{blue}{\frac{8}{5}}}=\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{-5}{5}}=\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{5}=0{,}6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}6\small.\)