Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left((0{,}5)^{-1{,}{2}}\right)^{2{,}{5}}\small.\)
Используем
Свойства степени с рациональным показателем
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle r_1\) и \(\displaystyle r_2\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 1) \ a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}\small,\)
\(\displaystyle 2)\ a^{r_1}: a^{r_2}=a^{r_1-r_2}\small,\)
\(\displaystyle 3)\ \left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1\cdot r_2} \small.\ \ \ \)
Если \(\displaystyle a>0\small,\) \(\displaystyle b>0\small,\) \(\displaystyle r\)– рациональные числа, то
\(\displaystyle 4) \ (ab)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\small,\)
\(\displaystyle 5)\ \left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}\small.\ \ \ \ \)
По свойству \(\displaystyle 3)\) при \(\displaystyle a=0{,}5\small,\) \(\displaystyle r_1=-1{,}{2}\) и \(\displaystyle r_2=2{,}{5}\small\) получим
\(\displaystyle \left((0{,}5)^\color{red}{-1{,}{2}}\right)^\color{blue}{2{,}{5}}=(0{,}5)^{\color{red}{-1{,}{2}}\cdot \color{blue}{2{,}{5}}}=(0{,}5)^{-3}=8\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 8\small.\)