Представьте выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{12}} \) \(\displaystyle (a \geqslant 0)\) в виде степени с целым показателем.
| \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{12}}=\) | \(\displaystyle a\) |
Представим подкоренное выражение в виде четвёртой степени:
\(\displaystyle \sqrt[4]{ a^{12}}= \sqrt[4]{ \left( a^{\,3} \right)^{4}} \)
Воспользуемся правилом для арифметического корня чётной степени:
Для любого числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle k \in \N\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt[2k]{ a^{\,2k}}= \left|a\,\right|{\small . } \)
Получаем:
\(\displaystyle \sqrt[4]{ \left( a^{3} \right)^{4}}= \left|a^{3} \right|{\small . } \)
По условию
\(\displaystyle a \geqslant 0{\small . } \)
Значит,
\(\displaystyle a^3 \geqslant 0{\small } \) и \(\displaystyle \left| a^{3} \right|=a^{3}{\small . } \)
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt[4]{ a^{12}}=\sqrt[4]{ \left( a^{\,3} \right)^{4}}= \left| a^{3} \right|=a^{3}{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle a^{3}{\small . } \)