Представьте выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{20}b^{\,12}} \) \(\displaystyle (a \geqslant 0 {\small ,}\,\,b \geqslant 0)\) в виде произведения степеней с целыми показателями (при необходимости поставьте перед произведением знак).
| \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{20}b^{\,12}}=\) | \(\displaystyle a\) | \(\displaystyle \cdot \,b\) |
Требуется представить выражение \(\displaystyle \sqrt[4]{a^{20}b^{\,12}} \) в виде произведения.
Так как \(\displaystyle a^{\, 20} \geqslant 0{\small } \) и \(\displaystyle b^{\,12} \geqslant 0{\small } \) при любых значениях \(\displaystyle a{\small }\) и \(\displaystyle b{\small ,}\) можем воспользоваться
Получим:
\(\displaystyle \sqrt[4]{a^{20}b^{\,12}}= \sqrt[4]{a^{20}} \cdot \sqrt[4]{b^{\,12}}{\small . } \)
Представим подкоренные выражения в виде четвёртых степеней:
\(\displaystyle \sqrt[4]{a^{20}} \cdot \sqrt[4]{b^{\,12}}=\sqrt[4] {\left( a^{\,5} \right)^{4}} \cdot \sqrt[4] {\left( b^{\,3} \right)^{4}} {\small . } \)
и получим:
\(\displaystyle \sqrt[4] {\left( a^{\,5} \right)^{4}} \cdot \sqrt[4] {\left( b^{\,3} \right)^{4}} =\left| a^{5} \right| \cdot \left| b^{\,3} \right| {\small . } \)
По условию
- \(\displaystyle a \geqslant 0{\small ,} \) поэтому \(\displaystyle a^5 \geqslant 0{\small } \) и \(\displaystyle \left| a^{5} \right|=a^{5}{\small ;}\)
- \(\displaystyle b \geqslant 0{\small ,} \) поэтому \(\displaystyle b^3 \geqslant 0{\small } \) и \(\displaystyle \left| b^{3} \right|=b^{3}{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt[4]{a^{20}b^{\,12}}= \sqrt[4]{a^{20}} \cdot \sqrt[4]{b^{\,12}}= \left| a^{5} \right| \cdot \left| b^{\,3} \right|=a^{5} \cdot b^{\,3}{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle a^{5} \cdot b^{\,3}{\small . } \)