Skip to main content

Теория: Нахождение остатков с помощью сравнений. Последняя цифра числа

Задание

Найдите последнюю цифру числа \(\displaystyle 13^{110}\small.\)

Решение

Последняя цифра натурального числа совпадает с остатком от деления данного числа на \(\displaystyle 10\small.\)

Найдем остаток от деления на \(\displaystyle 10\) числа \(\displaystyle 13^{110}\small.\)

 

Имеем:

\(\displaystyle 13\equiv 3\hspace{-2mm}\pmod {10}\small.\)

 

По свойству сравнений

Правило
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)

получаем 

\(\displaystyle 13^{110}\equiv 3^{110}\hspace{-2mm}\pmod {10}\small.\) 

Отметим, что \(\displaystyle 3^2=9\small.\) Тогда \(\displaystyle 3^{110}=9^{55}\small.\) 

 

Удобно использовать сравнимость числа \(\displaystyle 9\) с \(\displaystyle -1\) по модулю \(\displaystyle 10\small.\)

Поскольку \(\displaystyle 9\equiv (-1)\hspace{-2mm}\pmod {10}\small,\) 

\(\displaystyle 3^{110}\equiv (-1)^{55}\hspace{-2mm}\pmod {10}\small,\) 

\(\displaystyle 3^{110}\equiv (-1)\hspace{-2mm}\pmod {10}\small,\) 

\(\displaystyle 3^{110}\equiv 9\hspace{-2mm}\pmod {10}\small,\) 

\(\displaystyle 13^{110}\equiv 9\hspace{-2mm}\pmod {10}\small.\) 

 

Значит, остаток от деления \(\displaystyle 13^{110}\small\) на \(\displaystyle 10\) равен \(\displaystyle 9\small.\)

Следовательно, последней цифрой числа \(\displaystyle 13^{110}\small\) является \(\displaystyle 9\small.\)

 

Ответ: \(\displaystyle 9\small.\)