Задание
Найдите остаток от деления на \(\displaystyle 9\) числа \(\displaystyle 10^{2026}\cdot 4\small.\)
Решение
Имеем:
\(\displaystyle 10\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
По свойству сравнений
Правило
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)
получаем
\(\displaystyle 10^{2026}\equiv 1^{2026}\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 10^{2026}\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle 10^{2026}\cdot 4 \equiv 1\cdot 4 \hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 10^{2026} \cdot 4 \equiv 4\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
Значит, остаток от деления \(\displaystyle 10^{2026} \cdot 4 \small\) на \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle 4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 4\small.\)