Skip to main content

Теория: Нахождение остатков с помощью сравнений. Последняя цифра числа

Задание

Найдите остаток от деления на \(\displaystyle 71\) числа \(\displaystyle 81^{2025}+61^{2025}\small.\)

Решение

Имеем:

\(\displaystyle 81\equiv 10\hspace{-2mm}\pmod {71}\small.\)

\(\displaystyle 61\equiv (-10)\hspace{-2mm}\pmod {71}\small.\)

 

По свойству сравнений

Правило
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)

получаем 

\(\displaystyle 81^{2025}\equiv 10^{2025}\hspace{-2mm}\pmod {71}\small.\) 

\(\displaystyle 61^{2025}\equiv (-10)^{2025}\hspace{-2mm}\pmod {71}\small.\) 

Тогда

\(\displaystyle 81^{2025}+61^{2025}\equiv 10^{2025}+(-10)^{2025} \hspace{-2mm}\pmod {71}\small,\) 

\(\displaystyle 81^{2025}+61^{2025} \equiv 0\hspace{-2mm}\pmod {71}\small.\) 

 

Значит, остаток от деления \(\displaystyle 81^{2025}+61^{2025} \small\) на \(\displaystyle 71\) равен \(\displaystyle 0\small.\)

 

Ответ: \(\displaystyle 0\small.\)