Skip to main content

Теория: Нахождение остатков с помощью сравнений. Последняя цифра числа

Задание

Найдите остаток от деления на \(\displaystyle 6\) числа \(\displaystyle 201^{2025}+204^{2025}\small.\)

Решение

Имеем:

\(\displaystyle 201\equiv 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small.\)

\(\displaystyle 204\equiv 0\hspace{-2mm}\pmod {6}\small.\)

 

По свойству сравнений

Правило
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)

получаем 

\(\displaystyle 201^{2025}\equiv 3^{2025}\hspace{-2mm}\pmod {6}\small.\) 

\(\displaystyle 204^{2025}\equiv 0^{2025}\hspace{-2mm}\pmod {6}\small.\) 

Заметим, что

\(\displaystyle 3^{2}\equiv 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small,\) 

\(\displaystyle 3^{3}=3^{2}\cdot 3\small,\) \(\displaystyle 3^{3}\equiv 3\cdot 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small,\) \(\displaystyle 3^{3}\equiv 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small,\) 

\(\displaystyle 3^{4}=3^{3}\cdot 3\small,\) \(\displaystyle 3^{4}\equiv 3\cdot 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small,\) \(\displaystyle 3^{4}\equiv 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small,\) 

\(\displaystyle \ldots\)

\(\displaystyle 3^{2025}=3^{2024}\cdot 3\small,\) \(\displaystyle 3^{2025}\equiv 3\cdot 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small,\) \(\displaystyle 3^{2025}\equiv 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small.\) 

 

Тогда

\(\displaystyle 201^{2025}+204^{2025}\equiv 3^{2025}+0^{2025} \hspace{-2mm}\pmod {6}\small,\) 

\(\displaystyle 201^{2025}+204^{2025}\equiv 3+0 \hspace{-2mm}\pmod {6}\small,\) 

\(\displaystyle 201^{2025}+204^{2025} \equiv 3\hspace{-2mm}\pmod {6}\small.\) 

 

Значит, остаток от деления \(\displaystyle 201^{2025}+204^{2025} \small\) на \(\displaystyle 6\) равен \(\displaystyle 3\small.\)

 

Ответ: \(\displaystyle 3\small.\)