Skip to main content

Теория: Нахождение остатков с помощью сравнений. Последняя цифра числа

Задание

Найдите остаток от деления на \(\displaystyle 3\) числа \(\displaystyle 35^{2026}+34^{2025}\small.\)

Решение

Имеем:

\(\displaystyle 35\equiv (-1)\hspace{-2mm}\pmod {3}\small,\)

\(\displaystyle 34\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {3}\small.\)

 

По свойству сравнений

Правило
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)

получаем 

\(\displaystyle 35^{2026}\equiv (-1)^{2026}\hspace{-2mm}\pmod {3}\small,\) 

\(\displaystyle 35^{2026}\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {3}\small\) 

и

\(\displaystyle 34^{2025}\equiv 1^{2025}\hspace{-2mm}\pmod {3}\small,\) 

\(\displaystyle 34^{2025}\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {3}\small.\) 

Тогда

\(\displaystyle 35^{2026}+34^{2025}\equiv 1+1 \hspace{-2mm}\pmod {3}\small,\) 

\(\displaystyle 35^{2026}+34^{2025} \equiv 2\hspace{-2mm}\pmod {3}\small.\) 

 

Значит, остаток от деления \(\displaystyle 35^{2026}+34^{2025} \small\) на \(\displaystyle 3\) равен \(\displaystyle 2\small.\)

 

Ответ: \(\displaystyle 2\small.\)