Предприниматель Скоробогатов открыл пекарню. К концу первого года его прибыль составила всего \(\displaystyle 50\)тыс. рублей. Но дальше дела пошли хорошо и ежегодно прибыль увеличивалась на \(\displaystyle 200\%{\small.}\) Какую прибыль (в тысячах рублей) получил Скоробогатов к концу пятого года работы пекарни?
За первый год работы пекарни прибыль составила \(\displaystyle 50\)тысяч рублей или \(\displaystyle 100\%{\small.}\)
По условию ежегодно прибыль увеличивалась на \(\displaystyle 200\%{\small.}\)
При увеличении величины \(\displaystyle S\) на \(\displaystyle p \%\) получаем
\(\displaystyle S \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right) {\small .}\)
\(\displaystyle 50\cdot 3\)тысяч рублей.
За третий год прибыль увеличилась еще на \(\displaystyle 200 \%\) или в \(\displaystyle 3\)раза и составила
\(\displaystyle (50\cdot 3)\cdot 3=50\cdot 3^2\)тысяч рублей.
Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией
\(\displaystyle 50{\small;}\) \(\displaystyle 50\cdot 3{\small;}\) \(\displaystyle 50\cdot 3^2{\small;}\) \(\displaystyle 50\cdot 3^3{\small;} \) \(\displaystyle ...\)
с первым членом \(\displaystyle b_1=50 \) и знаменателем \(\displaystyle q=3{\small .}\)
В задаче требуется найти прибыль за пятый год или пятый член прогрессии \(\displaystyle b_5{\small .}\)
По формуле \(\displaystyle n\)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_5=b_1\cdot q^4\)
получаем:
\(\displaystyle b_5=50\cdot 3^4{\small ,} \)
\(\displaystyle b_5=50\cdot 81{\small ,} \)
\(\displaystyle b_5=4050{\small .} \)
То есть прибыль за пятый год работы пекарни составила \(\displaystyle 4050\)тысяч рублей.
Ответ: \(\displaystyle 4050\)тысяч рублей.