Какую сумму вкладчик положил в банк под \(\displaystyle 20 \%\)годовых, если на счете через \(\displaystyle 3\)года стало \(\displaystyle 259200\)рубля? Ответ дайте в рублях.
За первый год эта сумма возросла на \(\displaystyle 20 \%{\small .}\)
По правилу
При увеличении величины \(\displaystyle S\) на \(\displaystyle p \%\) получаем
\(\displaystyle S \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right) {\small .}\)
получаем, что сумма вклада через год составила
\(\displaystyle x\cdot \left(1+0{,}2 \right)=x \cdot 1{,}2\)рублей.
За второй год накопленная сумма \(\displaystyle x \cdot 1{,}2\) возросла ещё на \(\displaystyle 20 \%\) и составила
\(\displaystyle (x \cdot 1{,}2) \cdot 1{,}2= x \cdot 1{,}2^2\) рублей.
Аналогично, через три года сумма вклада составила \(\displaystyle x \cdot 1{,}2^3\) рублей, и т.д.
То есть мы имеем дело с геометрической прогрессией
\(\displaystyle x{ \small ;}\) \(\displaystyle x \cdot 1{,}2{ \small ;}\) \(\displaystyle x \cdot 1{,}2^2{ \small ;}\) \(\displaystyle x \cdot 1{,}2^3{ \small ;} \) \(\displaystyle ...\)
с первым членом \(\displaystyle x \) и знаменателем \(\displaystyle q=1{,}2{\small .}\)
Сумма, накопленная на счете у вкладчика, через \(\displaystyle 3\) года будет равна четвёртому члену данной прогрессии:
\(\displaystyle x \cdot 1{,}2^3 \) рублей.
По условию задачи на счете через \(\displaystyle 3\) года стало \(\displaystyle 259200\)рубля.
Получаем уравнение
\(\displaystyle x \cdot 1{,}2^3 =259200{ \small .}\)
\(\displaystyle x=150000{ \small .}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle x \cdot 1{,}2^3 =259200{ \small .}\)
Способ 1:
Так как \(\displaystyle 1{,}2 =\frac{6}{5}{ \small ,}\)можем переписать уравнение в виде:
\(\displaystyle x \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^3 =259200{ \small ,}\)
\(\displaystyle x \cdot \frac{6^3}{5^3} =259200{ \small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x =259200\cdot \frac{5^3}{6^3}{ \small .}\)
Так как
\(\displaystyle \frac{259200}{6^3}=\frac{43200}{6^2}=\frac{7200}{6}=1200{ \small ,}\)
то
\(\displaystyle x=1200 \cdot 5^3=1200 \cdot 125=150000{ \small .}\)
Способ 2:
Сразу найдем \(\displaystyle 1{,}2^3 =1{,}728\) и получим уравнение:
\(\displaystyle x \cdot 1{,}7728=259200{ \small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x =\frac{259200}{1{,}728}=\frac{259200000}{1728}=150000{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 150000\)рублей.