Выполните сложение дробей и упростите получившееся выражение:
Чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями:
- Найдем общий знаменатель.
- Приведем дроби к общему знаменателю.
- Сложим дроби с одинаковыми знаменателями.
- Упростим результат.
Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle b-c\small,\) а второй \(\displaystyle b^2-c^2\small.\)
Чтобы найти более простой общий знаменатель, разложим второй знаменатель на множители:
\(\displaystyle b^2-c^2=(b-c)(b+c)\small.\)
В общий знаменатель берем каждый множитель по одному разу:
\(\displaystyle b-c\) и \(\displaystyle b+c\small.\)
Получаем общий знаменатель:
\(\displaystyle (b-c)\cdot(b+c)=(b-c)(b+c)\small.\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
- \(\displaystyle \frac{c}{b-c}=\frac{c^{\backslash\cdot (b+c)}}{(b-c)^{\backslash\cdot (b+c)}}=\frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)}=\frac{cb+c^2}{(b-c)(b+c)}\small,\)
- \(\displaystyle \frac{b^2-3bc}{b^2-c^2}=\frac{b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}\) дробь уже имеет необходимый знаменатель.
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{b^2-c^2}=\frac{cb+c^2}{(b-c)(b+c)}+\frac{b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}=\\[10px]=\frac{cb+c^2+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}=\frac{b^2-2bc+c^2}{(b-c)(b+c)}\small.\end{aligned}\)
Чтобы упростить дробь разложим числитель дроби на множители:
\(\displaystyle \frac{b^2-2bc+c^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)}\small.\)
Сокращая дробь, получаем:
\(\displaystyle \frac{(b-c)^{\cancel{2}}}{\cancel{(b-c)}(b+c)}=\frac{b-c}{b+c}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{b-c}{b+c}\small.\)