Задание
Выполните сложение дробей и упростите получившееся выражение:
\(\displaystyle \frac{a}{a^2+2a+1}-\frac{1}{a+1}=\)
Решение
Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
- Найдем общий знаменатель.
- Приведем дроби к общему знаменателю.
- Найдем разность дробей с одинаковыми знаменателями.
- Упростим результат.
Общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{a}{a^2+2a+1}\) и \(\displaystyle \frac{1}{a+1}\) равен \(\displaystyle (a+1)^2\small.\)
Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle a^2+2a+1\small,\) а второй \(\displaystyle a+1\small.\)
Чтобы найти более простой общий знаменатель, разложим первый знаменатель на множители:
\(\displaystyle a^2+2a+1=(a+1)^2\small.\)
В общий знаменатель берем множитель в большей степени:
\(\displaystyle (a+1)^2\small.\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
- \(\displaystyle \frac{a}{a^2+2a+1}=\frac{a}{(a+1)^2}\) уже имеет необходимый знаменатель,
- \(\displaystyle \frac{1^{\backslash\cdot (a+1)}}{(a+1)^{\backslash\cdot (a+1)}}=\frac{a+1}{(a+1)^2}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{a}{a^2+2a+1}-\frac{1}{a+1}=\frac{a}{(a+1)^2}-\frac{a+1}{(a+1)^2}=\frac{\cancel{a}-\cancel{a}-1}{(a+1)^2}=-\frac{1}{(a+1)^2}\small.\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{1}{(a+1)^2}\small.\)