Skip to main content

Теория: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Задание

Выполните сложение дробей:

\(\displaystyle \frac{1-y}{y^2+y}+\frac{1}{y+1}=\)
\frac{1}{y\cdot (y+1)}

Между буквой и скобкой обязательно должен быть знак умножить, символ \(\displaystyle \cdot\)

Решение

Чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями:

  • Найдем общий знаменатель.
  • Приведем дроби к общему знаменателю.
  • Сложим дроби с одинаковыми знаменателями.
  • Упростим результат.

Общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{1-y}{y^2+y}\) и \(\displaystyle \frac{1}{y+1}\) равен \(\displaystyle y(y+1)\small.\)

Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle y^2+y\small,\) а второй \(\displaystyle y+1\small.\)

Чтобы найти более простой общий знаменатель, разложим первый знаменатель на множители:

\(\displaystyle y^2+y=y(y+1)\small.\)


В общий знаменатель берем каждый множитель по разу:

\(\displaystyle y\) и \(\displaystyle y+1\small.\)

Получаем общий знаменатель:

\(\displaystyle y\cdot (y+1)= y(y+1)\small.\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

  • \(\displaystyle \frac{1-y}{y^2+y}=\frac{1-y}{y(y+1)}\) уже имеет нужный знаменатель,
  • \(\displaystyle \frac{1^{\backslash\cdot y}}{(y+1)^{\backslash\cdot y}}=\frac{y}{y(y+1)}\small.\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{1-y}{y^2+y}+\frac{1}{y+1}=\frac{1-y}{y(y+1)}+\frac{y}{y(y+1)}=\frac{1-\cancel{y}+\cancel{y}}{y(y+1)}=\frac{1}{y(y+1)}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{y(y+1)}\small.\)