Известно, что сумма углов выпуклого \(\displaystyle n\)-угольника равна \(\displaystyle 180(n-2)^{\circ}\small.\) Какое наименьшее количество сторон может быть у данного многоугольника, если сумма его углов больше, чем \(\displaystyle 1200^{\circ}\small?\)
Количество сторон выпуклого \(\displaystyle n\)-угольника равно натуральному числу \(\displaystyle n\small.\)
Сумма углов выпуклого \(\displaystyle n\)-угольника равна \(\displaystyle 180(n-2)^{\circ}\small.\)
По условию, сумма углов многоугольника больше, чем \(\displaystyle 1200^{\circ}\small.\)
Следовательно, выполняется неравенство
\(\displaystyle 180(n-2)>1200\small.\)
В задаче требуется найти наибольшее количество сторон данного многоугольника.
Таким образом, нужно
найти наибольшее натуральное решение неравенства \(\displaystyle 180(n-2)>1200\small.\)
1. Решим неравенство \(\displaystyle 180(n-2)>1200\small.\) Получим:
\(\displaystyle n\in\left(8\frac{2}{3};+\infty\right) {\small .} \)
2. Найдём натуральные числа, котрые содержатся в промежутке \(\displaystyle \left(8\frac{2}{3};+\infty\right) {\small .} \)
Это: \(\displaystyle 9,\, 10, \, 11, \ldots.\)
3. Выберем наименьшее число из множества \(\displaystyle \{9,\, 10, \, 11, \ldots\}{\small .}\)
Это \(\displaystyle 9 {\small .}\)
Получили, что наименьшее количество сторон у данного выпуклого \(\displaystyle n\)-угольника равно \(\displaystyle 9 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 9 {\small .}\)