Автомобиль выехал из пункта \(\displaystyle А\) в пункт \(\displaystyle Б\). Первые \(\displaystyle 50\) км автомобиль ехал со скоростью \(\displaystyle 90\) км/ч, а оставшуюся часть пути - со скоростью \(\displaystyle 110\) км/ч. Какому наибольшему целому числу может быть равно расстояние между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\), если известно, что автомобиль из \(\displaystyle А\) в \(\displaystyle Б\) ехал не более \(\displaystyle 1\) часа?
Обозначим длину второй части пути через \(\displaystyle x\)км. Тогда весь путь между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\) составит \(\displaystyle x+50\)км.
По условию, \(\displaystyle 50\) км автомобиль ехал со скоростью \(\displaystyle 90\) км/ч, \(\displaystyle x\)км \(\displaystyle -\) со скоростью \(\displaystyle 110\) км/ч.
Тогда время, затраченное на весь путь, составляет \(\displaystyle \frac{50}{90}+\frac{x}{110}\)часов.
По условию, автомобиль из \(\displaystyle А\) в \(\displaystyle Б\) ехал не более 1 часа.
Следовательно, выполняется неравенство
\(\displaystyle \frac{50}{90}+\frac{x}{110}\leqslant 1\small.\)
В задаче требуется найти наибольшее целое число, которому может быть равно расстояние между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\).
Таким образом, нужно
найти наибольшее натуральное решение неравенства \(\displaystyle \frac{50}{90}+\frac{x}{110}\leqslant 1\small.\)
1. Решим неравенство \(\displaystyle \frac{50}{90}+\frac{x}{110}\leqslant 1\small.\) Получим:
\(\displaystyle x\in(-\infty;48\frac{8}{9}] {\small .} \)
2. Найдём натуральные числа, котрые содержатся в промежутке \(\displaystyle \left(-\infty;48\frac{8}{9}\right]{\small .} \)
Это: \(\displaystyle \ldots,\, 46,\, 47, \, 48{\small .}\)
3. Выберем наибольшее число из множества \(\displaystyle \{\ldots,\, 46,\, 47, \, 48\}{\small .}\)
Это \(\displaystyle 48{\small .}\)
Получили, что наибольшее целое число, которому может быть равна вторая часть пути, равно \(\displaystyle 48{\small .}\)
Значит, наибольшее расстояние между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\) составляет
\(\displaystyle 50+48=98\)км.
Ответ: \(\displaystyle 98{\small . }\)