Skip to main content

Теория: Величина части угла. Откладывание угла

Задание

Два угла имеют величины \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\) При этом \(\displaystyle 90\degree >\alpha>\beta{\small .}\)

Равные им углы можно по-разному откладывать от луча \(\displaystyle OA{\small .}\)

Если откладывать углы в разные полуплоскости от продолжающей его прямой, то проведённые лучи образуют угол величиной \(\displaystyle 53\degree {\small .}\)

А если откладывать углы в одну сторону от этой прямой, то получится угол величиной \(\displaystyle 25\degree {\small .}\)

Найдите величины углов \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta{\small .}\)

\(\displaystyle \alpha=\)\(\displaystyle \degree{\small ,\;} \;\;\;\;\beta=\)\(\displaystyle \degree\) 

Решение

1. Сделаем рисунок, соответствующий условию задачи.

По условию задачи после откладывания углов дан угол между отложенными новыми лучами.

Отложим углы по одну сторону от прямой, продолжающей луч \(\displaystyle k{\small .} \)

На рисунке углы \(\displaystyle AOD \) и \(\displaystyle AOB \)располагаются по одну сторону прямой \(\displaystyle OA{\small .}\)

 

Тогда угол между проведенными лучами \(\displaystyle OD \) и \(\displaystyle OB \) равен \(\displaystyle 25\degree {\text :}\)

\(\displaystyle \angle BOD=25\degree{\small .} \)

 

Теперь отложим углы по разные стороны от прямой, продолжающей луч \(\displaystyle OA{\small .} \) 

На рисунке угол \(\displaystyle AOD \) отложен по одну сторону прямой \(\displaystyle OA{\small ,}\) а угол \(\displaystyle AOC~-\) по другую.

Тогда угол между проведенными лучами \(\displaystyle OC \) и \(\displaystyle OD \) равен \(\displaystyle 53\degree{\text :}\)

\(\displaystyle \angle COD=53\degree{\small .} \)


Объединяя в один рисунок, получаем:

2. Найдём величину \(\displaystyle \alpha{\small ,}\) пользуясь тем, что из углов \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle BOD\) составлен угол \(\displaystyle BOC{\small .}\)

Величина угла \(\displaystyle BOC\) складывается из величин двух его частей:

\(\displaystyle \angle BOC=\angle COD+\angle BOD=53\degree +25\degree =78\degree {\small .}\)


С другой стороны, этот же угол получен двукратным откладыванием от луча \(\displaystyle OA\) угла величиной \(\displaystyle \alpha{\small .}\)

Значит, 

\(\displaystyle \alpha=\frac{\angle BOC}{2}=\frac{78\degree }{2}=\)\(\displaystyle 39\degree {\small .}\) 

3. Рассмотрим угол \(\displaystyle AOB{\small ,}\) чтобы найти величину \(\displaystyle \beta{\small .}\)

Величина этого угла только что найдена и составляет \(\displaystyle 39\degree {\small .}\) Также известно, что величина угла \(\displaystyle BOD\) составляет \(\displaystyle 25\degree {\small .}\)

Угол \(\displaystyle AOB\) составлен из частей \(\displaystyle AOD\) и \(\displaystyle BOD{\small .}\)

Значит, величина угла \(\displaystyle AOD~-\) разность величин углов \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle BOD{\text :}\)

\(\displaystyle \beta=\angle AOD=\angle AOB-\angle BOD=39\degree -25\degree =\)\(\displaystyle 14\degree {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \alpha = 39\degree{\small ,}\)\(\displaystyle \beta = 14\degree {\small .}\)