Теория: Величина части угла. Откладывание угла

Одну из сторон угла выберем для того, чтобы выразить величины углов, которые с этой стороной образуют проведённые лучи.

На рисунке эту сторону сделаем горизонтальной.
 

У равных углов равны величины.

Части \(\displaystyle -\) равные углы. Поэтому величина каждой из девяти частей равна \(\displaystyle \frac{\alpha}{9}{\small .}\)

Вычислим величины углов, образованных горизонтальным лучом и каждым из проведённых при делении.

Для этого последовательно умножим величину части на \(\displaystyle 1{\small ,\;}2{\small ,\;}3{\small ,\;}... {\small ,\;}8{\text :}\)

\(\displaystyle \frac{\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;}\frac{2\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;}\frac{3\alpha}{9}=\frac{\alpha}{3}{\small ,\;\;\;\;}\frac{4\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;}\frac{5\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;}\frac{6\alpha}{9}=\frac{2\alpha}{3}{\small ,\;\;\;\;}\frac{7\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;}\frac{8\alpha}{9}{\small .}\)

Части \(\displaystyle -\) равные углы. Поэтому величина каждой из шести частей равна \(\displaystyle \frac{\alpha}{6}{\small .}\)

Вычислим величины углов, образованных горизонтальным лучом и каждым из проведённых при делении.

Для этого последовательно умножим величину части на \(\displaystyle 1{\small ,\;}2{\small ,\;}3{\small ,\;}4{\small ,\;}5{\text :}\)

\(\displaystyle \frac{\alpha}{6}{\small ,\;\;\;\;}\frac{2\alpha}{6}=\)\(\displaystyle \frac{\alpha}{3}{\small ,\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{3\alpha}{6}=\frac{\alpha}{2}{\small ,\;\;\;\;}\frac{4\alpha}{6}=\)\(\displaystyle \frac{2\alpha}{3}{\small ,\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{5\alpha}{6}{\small .}\)

Видим, что два луча деления на \(\displaystyle 6\) частей образуют с горизонтальной стороной исходного угла углы ранее найденных величин.

Это величины углов, образованных лучами деления на \(\displaystyle 9\) частей с той же стороной исходного угла.

В одну сторону от луча можно единственным образом отложить угол данной величины.

Значит, углы повторяющихся величин являются просто одним углом.

После удаления повторений останется \(\displaystyle 11\) величин углов, которые лучи образуют с одной из сторон исходного угла:
 

\(\displaystyle \frac{\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{\alpha}{6}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{2\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{\alpha}{3}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{4\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{5\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{2\alpha}{3}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{7\alpha}{9}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{5\alpha}{6}{\small ,\;\;\;\;\;}\)\(\displaystyle \frac{8\alpha}{9}{\small .}\)