Skip to main content

Теория: Величина части угла. Откладывание угла

Задание

Проведена биссектриса \(\displaystyle FK\) угла \(\displaystyle AFB{\small .}\)

Затем проведена биссектриса \(\displaystyle FL\) угла \(\displaystyle AFK{\small .}\)

Наконец, проведена биссектриса \(\displaystyle FM\) угла \(\displaystyle BFL{\small .}\)
 


Найти отношение величин углов \(\displaystyle AFM\) и \(\displaystyle BFM{\small .}\)

\(\displaystyle \angle AFM : \angle BFM=\)\(\displaystyle :\)

 

Решение

Чтобы найти отношение величин углов \(\displaystyle AFM\) и \(\displaystyle BFM{\small ,}\) выразим величины этих углов через величину угла \(\displaystyle AFB{\small .}\)

Обозначим её через \(\displaystyle \alpha{\small .}\)

1. Луч \(\displaystyle FK\) – биссектрисса угла \(\displaystyle AFB\), значит, делит этот угол на два равных угла.

\(\displaystyle \angle BFK=\angle KFA=\frac {\alpha}{2}{\small .}\) 
 

2. Луч \(\displaystyle FL\) – биссектрисса угла \(\displaystyle KFA\), значит, делит этот угол на два равных угла.

\(\displaystyle \angle KFL=\angle LFA=\frac{1}{2}\cdot \angle KFA=\frac{1}{2}\cdot\frac {\alpha}{2}=\frac {\alpha}{4}{\small .}\) 
 


 

3. Найдём величину части \(\displaystyle BFL\) угла \(\displaystyle AFB{\small .}\)

Вычтем из величины угла \(\displaystyle AFB\) величину его части \(\displaystyle LFA{\text :}\)

\(\displaystyle \angle BFL = \angle AFB-\angle LFA=\alpha-\frac {\alpha}{4}=\frac {3\alpha}{4}{\small .}\)

4. Луч \(\displaystyle FM\) – биссектрисса  угла \(\displaystyle BFL\), значит, делит это угол на два равных угла.

\(\displaystyle \angle BFM=\angle MFL=\frac{1}{2}\cdot\angle BFL=\frac{1}{2}\cdot\frac {3\alpha}{4}=\frac {3\alpha}{8}{\small .}\) 
 

5. Величина угла \(\displaystyle AFM\) является суммой величин его частей \(\displaystyle MFL\) и \(\displaystyle LFA{\small .}\)

\(\displaystyle \angle AFM=\frac {3\alpha}{8}+\frac {\alpha}{4}=\frac {5\alpha}{8}{\small .}\) 

6. Найдем отношение величин углов \(\displaystyle AFM\) и \(\displaystyle BFM{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{\angle AFM}{\angle BFM} =\frac {5\alpha}{8} :\frac {3\alpha}{8}=\frac {5\alpha}{8} \cdot\frac {8}{3\alpha}=\frac {5}{3}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle AFM : \angle BFM=5:3{\small .}\)