Skip to main content

Теория: 09 Свойства функции \(\displaystyle y=x^n\) (\(\displaystyle n\) – натуральный показатель)

Задание

Выберите промежутки, на которых функция \(\displaystyle y=x^4{\small}\) возрастает.

Решение

По графику функции \(\displaystyle y=x^4{\small}\)

видим, что: 

\(\displaystyle y=x^4{\small}\) возрастает при \(\displaystyle x \in \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small .}\)

Поэтому, нужно выбрать только те промежутки, все точки которых принадлежат \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small .}\)


Проверим, какие из данных промежутков содержатся в \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small .}\)

\(\displaystyle (0;\,2)\) содержится в \(\displaystyle [0;\,+\infty){\small .}\)

Изобразим промежутки \(\displaystyle (0;\,2){\small }\) и \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small }\) на числовой оси:

Видим, что все точки  \(\displaystyle (0;\,2){\small }\) принадлежат \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small .}\)

\(\displaystyle (2;\,4)\) содержится в \(\displaystyle [ 0;\,+\infty){\small .}\)

\(\displaystyle (-3;\,0)\) не содержится в \(\displaystyle [ 0;\,+\infty){\small .}\)

Изобразим промежутки \(\displaystyle (-3;\,0){\small }\) и \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small .}\) на числовой оси:

Видим, что ни одна точка \(\displaystyle (-3;\,0){\small }\) не принадлежит \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small .}\)

\(\displaystyle (-5;\,-2)\) не содержится в \(\displaystyle [ 0;\,+\infty){\small .}\)

\(\displaystyle (-1;\,3)\) не содержится в \(\displaystyle [ 0;\,+\infty){\small .}\)

Изобразим промежутки \(\displaystyle (-1;\,3){\small }\) и \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small }\) на числовой оси:

Видим, что не все точки \(\displaystyle (-1;\,3){\small }\) принадлежат \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small .}\)

\(\displaystyle (-4;\,4)\) не содержится в \(\displaystyle [ 0;\,+\infty){\small .}\)

Получили, что только промежутки \(\displaystyle (0;\,2)\) и \(\displaystyle (2;\,4)\) содержатся в \(\displaystyle \color {magenta} {[ 0;\,+\infty)}{\small .}\)

Значит, только на этих двух из шести промежутков функция \(\displaystyle y=x^4{\small}\) возрастает.


Ответ: функция \(\displaystyle y=x^4{\small}\) возрастает на промежутках \(\displaystyle (0;\,2)\) и \(\displaystyle (2;\,4){\small .}\)

Замечание / комментарий

Заметим, что функция  \(\displaystyle y=x^n{\small }\) при любом натуральном чётном \(\displaystyle n\) возрастает при \(\displaystyle x \in [ 0;\,+\infty){\small .}\)