Теория: 04 Решение неравенств с модулем

Перепишем неравенство

\(\displaystyle x^2+2x\leqslant 3{\small }\)

в виде

\(\displaystyle x^2+2x-3\leqslant 0{\small }\)

Решим полученное квадратное неравенство графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2+2x-3 = 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=4{\small . } \)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -2+4 }{ 2 }=1{ \small ,}\,\,\,\, x_2=\frac{-2-4 }{ 2 }=-3 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2+2x-3 \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2+2x-3\leqslant 0\) выделим точки параболы, лежащие не выше оси \(\displaystyle Ox \) (то есть ниже \(\displaystyle Ox \)и на самой оси), и найдём абсциссы данных точек:

Видим, что множеством решения неравенства является промежуток \(\displaystyle [-3;1]{ \small .}\)

Перепишем неравенство

\(\displaystyle x^2+2x \geqslant -3{\small }\)

в виде

\(\displaystyle x^2+2x+3 \geqslant 0{\small .}\)

Решим полученное квадратное неравенство графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2+2x+3 = 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8 < 0{\small . } \)

Так как \(\displaystyle \rm D<0{\small ,} \) квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+2x+3 = 0\) действительных корней не имеет.

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2+2x+3 \) с учетом отсутствия точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\) ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2+2x+3\geqslant 0\) выделим точки параболы, лежащие не ниже оси \(\displaystyle Ox \) (то есть выше \(\displaystyle Ox \)и на самой оси), и найдём абсциссы данных точек:

Видим, что вся парабола лежит выше оси \(\displaystyle Ox {\small ,}\) поэтому неравенство выполнено при любых значениях \(\displaystyle x {\small .}\)

\(\displaystyle [-3;1] \cap (-\infty; +\infty) = [-3;1]{ \small .}\)