Теория: 04 Решение неравенств с модулем

Перепишем неравенство

\(\displaystyle x^2-3x-10 > x+11{\small .}\)

в виде

\(\displaystyle x^2-4x-21 > 0{\small .}\)

Решим полученное квадратное неравенство графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2-4x-21 = 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-21)=100{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=10{\small . } \)

\(\displaystyle x_1=\frac{ 4+10 }{ 2 }=7{ \small ,}\,\,\,\, x_2=\frac{4-10 }{ 2 }=-3 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2-4x-21 \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2-4x-21> 0\) выделим точки параболы, лежащие выше оси \(\displaystyle \rm OX \), и найдём абсциссы данных точек:

Видим, что множеством решения неравенства является объединение промежутков \(\displaystyle (-\infty;-3)\) и \(\displaystyle (7;+\infty){ \small .}\)

Перепишем неравенство

\(\displaystyle x^2-3x-10 < -x-11{\small }\)

в виде

\(\displaystyle x^2-2x+1 < 0{\small .}\)

Решим полученное квадратное неравенство графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2-2x+1= 0{\small .}\)

Так как \(\displaystyle x^2-2x+1=(x-1)^2{\small ,}\) получаем 

\(\displaystyle (x-1)^2= 0{\small ,}\)

\(\displaystyle x-1= 0{\small ,}\)

\(\displaystyle x=1{\small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2-2x+1 \) с учетом точки касания параболы и оси \(\displaystyle \rm OX { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2-2x+1 < 0\) выделим точки параболы, лежащие ниже оси \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) и найдём абсциссы данных точек:

Видим, что точек параболы, лежащих ниже оси \(\displaystyle \rm OX{\small ,}\) нет, поэтому неравенство не имеет решений.

\(\displaystyle (-\infty;-3) \cup ( 7;+\infty) \cup \varnothing = (-\infty;-3) \cup ( 7;+\infty) { \small .}\)