Теория: 04 Решение неравенств с модулем

Решим неравенство:

\(\displaystyle x^2+5x+1< x^2+3x-1{\small ,}\)

\(\displaystyle 2x< -2{\small ,}\)

откуда

\(\displaystyle x< -1{\small .}\)

Перепишем неравенство

\(\displaystyle x^2+5x+1 > -x^2-3x+1{\small }\)

в виде

\(\displaystyle 2x^2+8x> 0{\small .}\)

Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle 2{\small :}\)

\(\displaystyle x^2+4x> 0{\small .}\)

Решим полученное квадратное неравенство графическим методом.

Найдем корни уравнения

\(\displaystyle x^2+4x= 0{\small :}\)

\(\displaystyle x(x+4)= 0{\small ,}\)

\(\displaystyle x=0\) или \(\displaystyle x+4=0{\small ,}\)

откуда

\(\displaystyle x_1=0{ \small ,}\,\,\,\, x_2=-4 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2+4x \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2+4x> 0\) выделим точки параболы, лежащие выше оси \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) и найдём абсциссы данных точек:

Видим, что множеством решения неравенства является объединение промежутков \(\displaystyle (-\infty;-4)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){ \small .}\)