Теория: 04 Решение неравенств с модулем

Перепишем неравенство

\(\displaystyle x^2+3x-4\leqslant 6{\small }\)

в виде

\(\displaystyle x^2+3x-10\leqslant 0{\small }\)

Решим полученное квадратное неравенство графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2+3x-10 = 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=3^2-4\cdot 1\cdot (-10)=49{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=7{\small . } \)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -3+7 }{ 2 }=2{ \small ,}\,\,\,\, x_2=\frac{-3-7 }{ 2 }=-5 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2+3x-10 \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2+3x-10\leqslant 0\) выделим точки параболы, лежащие не выше оси \(\displaystyle \rm OX \) (то есть ниже \(\displaystyle \rm OX \)и на самой оси), и найдём абсциссы данных точек:

Видим, что множеством решения неравенства является промежуток \(\displaystyle [-5;2]{ \small .}\)

Перепишем неравенство

\(\displaystyle x^2+3x-4 \geqslant -6{\small }\)

в виде

\(\displaystyle x^2+3x+2 \geqslant 0{\small .}\)

Решим полученное квадратное неравенство графическим методом.

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x^2+3x+2= 0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1{\small ; } \)

\(\displaystyle \sqrt {\rm D}=1{\small . } \)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -3+1 }{ 2 }=-1{ \small ,}\,\,\,\, x_2=\frac{-3-1 }{ 2 }=-2 { \small .}\)

Схематично изобразим график функции \(\displaystyle y=x^2+3x+2 \) с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX { \small .}\) Так как коэффициент \(\displaystyle a>0{\small ,}\)ветви параболы направлены вверх.

Для решения неравенства  \(\displaystyle x^2+3x+2\geqslant 0\) выделим точки параболы, лежащие не ниже оси \(\displaystyle \rm OX \) (то есть выше \(\displaystyle \rm OX \)и на самой оси), и найдём абсциссы данных точек:

Видим, что множеством решения неравенства является объединение промежутков \(\displaystyle (-\infty;-2]\) и \(\displaystyle [-1;+\infty){ \small .}\)