Упростите выражение \(\displaystyle \sqrt {a^2 - 14a + 49}\) при \(\displaystyle a<7 {\small .}\)
Результат представьте в виде многочлена первой степени.
\(\displaystyle \sqrt {a^2 - 14a + 49}=\)
Заметим, что подкоренное выражение – квадрат разности:
\(\displaystyle a^2 - 14a + 49 = {a}^2 - 2 \cdot 7 \cdot a + 7^2 = ({a} - 7)^2 {\small .}\)
Подставим полученное выражение в исходное. Получим:
\(\displaystyle \sqrt {a^2 - 14a + 49} = \sqrt {({a} - 7)^2} {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
\(\displaystyle \sqrt {({a} - 7)^2} = |{a} - 7| {\small.}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} - 7 {\small.}\)
По условию
\(\displaystyle {a} < 7 {\small .}\)
Вычитая из обеих частей данного неравенства \(\displaystyle 7,\) получим:
\(\displaystyle {a} - 7 < 0{\small .}\)
Тогда модуль раскрывается со знаком минус:
\(\displaystyle |{a} - 7| = -({a} - 7) = -{a} + 7 {\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} {{a} < 7} {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} { \sqrt{a^2 - 14a + 49} = -{a} + 7 =7 -{a}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 7 -{a} {\small.}\)