Упростите выражение \(\displaystyle \sqrt {4a^2 + 4a + 1}\) при \(\displaystyle a\geqslant -\frac{1}{2} {\small .}\)
Результат представьте в виде многочлена первой степени.
\(\displaystyle \sqrt {4a^2 + 4a + 1}=\)
Заметим, что подкоренное выражение – квадрат суммы:
\(\displaystyle 4{a}^2 + 4{a} + 1 = (2{a})^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2a + 1^2 = (2{a} + 1)^2 {\small .}\)
Подставим полученное выражение в исходное. Получим:
\(\displaystyle \sqrt {4{a}^2 + 4{a} + 1} = \sqrt {(2{a} + 1)^2} {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle \sqrt {(2{a} + 1)^2} = |2{a} + 1|{\small.}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle 2{a} + 1{\small.}\)
По условию
\(\displaystyle {a} \geqslant -\frac{1}{2} {\small .}\)
Преобразуем данное числовое неравенство:
\(\displaystyle {a} \geqslant -\frac{1}{2} \, \bigg| \cdot 2>0{\small ,}\)
\(\displaystyle 2{a} \geqslant -1{\small ,}\)
\(\displaystyle 2{a} + 1 \geqslant 0 {\small .}\)
Получили, что подмодульное выражение \(\displaystyle 2{a} + 1\) неотрицательно.
Значит, знак модуля можно убрать:
\(\displaystyle |2{a} + 1| = 2{a} + 1{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} { {a}\geqslant -\frac{1}{2} } {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} { \sqrt{4{a}^2 + 4{a} + 1} = 2{a} + 1 }{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 2{a} + 1{\small.}\)