Упростите выражение \(\displaystyle \sqrt {a^2 + 6a + 9}\) при \(\displaystyle a<-3 {\small .}\)
Результат представьте в виде многочлена первой степени.
\(\displaystyle \sqrt {a^2 + 6a + 9}=\)
Заметим, что подкоренное выражение – квадрат суммы:
\(\displaystyle {a}^2 + 6{a} + 9 = {a}^2 + 2 \cdot 3 \cdot a + 3^2 = ({a} + 3)^2 {\small .}\)
Подставим полученное выражение в исходное. Получим:
\(\displaystyle \sqrt {{a}^2 + 6{a} + 9} = \sqrt {({a} + 3)^2} {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
\(\displaystyle \sqrt {({a} + 3)^2} = |{a} + 3| {\small.}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} + 3 {\small.}\)
По условию
\(\displaystyle {a} < -3 {\small .}\)
Прибавляя к обеим частям данного неравенства \(\displaystyle 3,\) получим:
\(\displaystyle {a} + 3 < 0{\small .}\)
Тогда модуль раскрывается со знаком минус:
\(\displaystyle |{a} + 3| = -({a} + 3) = -{a} - 3 {\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} {{a} < -3} {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} { \sqrt{{a}^2 + 6{a} + 9} = -{a} - 3 }{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -{a} - 3{\small.}\)