Упростите выражение \(\displaystyle \sqrt {a^2 - 10a + 25}\) при \(\displaystyle a\geqslant5 {\small .}\)
Результат представьте в виде многочлена первой степени.
\(\displaystyle \sqrt {a^2 - 10a + 25}=\)
Заметим, что подкоренное выражение – квадрат разности:
\(\displaystyle {a}^2 - 10{a} + 25 = {a}^2 - 2 \cdot 5 \cdot a + 5^2 = ({a} - 5)^2 {\small .}\)
Подставим полученное выражение в исходное. Получим:
\(\displaystyle \sqrt {{a}^2 - 10{a} + 25} = \sqrt {({a} - 5)^2} {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
\(\displaystyle \sqrt {({a} - 5)^2} = |{a} - 5| {\small.}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle {a} - 5 {\small.}\)
По условию
\(\displaystyle {a} \geqslant 5 {\small .}\)
Вычитая из обеих частей данного неравенства \(\displaystyle 5,\) получим:
\(\displaystyle {a} - 5 \geqslant 0{\small .}\)
Тогда знак модуля можно убрать:
\(\displaystyle |{a} - 5| = {a} - 5 {\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} {{a} \geqslant 5} {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} { \sqrt{{a}^2 - 10{a} + 25} = {a} - 5 }{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle {a} - 5{\small.}\)