Упростите выражение \(\displaystyle \sqrt {49y^2 - 28y + 4}\) при \(\displaystyle y < \frac{2}{7} {\small .}\)
Результат представьте в виде многочлена первой степени.
\(\displaystyle \sqrt {49y^2 - 28y + 4}=\)
Заметим, что подкоренное выражение – квадрат разности:
\(\displaystyle 49{y}^2 - 28{y} + 4= (7{y})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 7{y} + 2^2 = (7{y} - 2)^2 {\small .}\)
Подставим полученное выражение в исходное. Получим:
\(\displaystyle \sqrt {49{y}^2 - 28{y} + 4} = \sqrt {(7{y} -2)^2} {\small .}\)
Воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a|{\small.}\)
Получим, что при любых значениях \(\displaystyle a\)
\(\displaystyle \sqrt {(7{y} - 2)^2} = |7{y} - 2|{\small.}\)
Чтобы раскрыть модуль, определим знак подмодульного выражения \(\displaystyle 7{y} - 2{\small.}\)
По условию
\(\displaystyle {y} < \frac{2}{7} {\small .}\)
Преобразуем данное числовое неравенство:
\(\displaystyle {y} < \frac{2}{7} \, \bigg| \cdot 7>0{\small ,}\)
\(\displaystyle 7{y} < 2{\small ,}\)
\(\displaystyle 7{y} - 2 < 0{\small .}\)
Получили, что подмодульное выражение \(\displaystyle 7{y} - 2\) отрицательно.
Значит, модуль раскрывается со знаком минус:
\(\displaystyle |7{y} - 2| =-(7{y} - 2)=-7y+2=2-7y {\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle \color{Blue} {{y} < -\frac{2}{7}} {\small }\)
\(\displaystyle \color{Blue} { \sqrt{49{y}^2 - 28{y} + 4} = 2-7{y} }{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 2-7{y}{\small.}\)