Решите неравенство:
\(\displaystyle (x-5)(x+4)(2x-1)< 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in\)
Для решения неравенства
\(\displaystyle (x-5)(x+4)(2x-1)< 0{\small }\)
воспользуемся методом интервалов.
Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)= (x-5)(x+4)(2x-1){\small .}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle (x-5)(x+4)(2x-1)=0{\small .}\)
| \(\displaystyle x-5=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle x+4=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle 2x-1=0{\small ,}\) |
| \(\displaystyle x_1=5{\small ,}\) | \(\displaystyle x_2=-4{\small ,}\) | \(\displaystyle x_3=0{,}5{\small .}\) |
Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции.
Так как знак неравенства строгий, все нули обозначаются выколотыми точками.
Получили \(\displaystyle 4\) интервала:
Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= (x-5)(x+4)(2x-1)\) на каждом из полученных интервалов.
Из интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\)
\(\displaystyle f(10)=(10-5)(10+4)(2 \cdot 10-1)=5 \cdot 14 \cdot 19 >0{\small .}\)
Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:
Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)
- Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
- При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
- если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
- если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.
В нашем случае в выражение
\(\displaystyle f(x)= (x-5)(x+4)(2x-1)=2(x-5)(x+4)(x-0{,}5)\)
все три линейных множителя входят в первой (нечётной) степени.
Значит, знаки функции на интервалах чередуются.
В итоге получаем:
Решение неравенства \(\displaystyle (x-5)(x+4)(2x-1) < 0\) – объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна:
\(\displaystyle (-\infty;-4) \cup (0{,}5;5){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;-4) \cup (0{,}5;5){\small .}\)