Решите неравенство:
\(\displaystyle (2x-10)(x+4)^2(x-7) \leqslant 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in\)
Для решения неравенства
\(\displaystyle (2x-10)(x+4)^{2}(x-7) \leqslant 0{\small }\)
воспользуемся методом интервалов.
Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)= (2x-10)(x+4)^2(x-7) {\small .}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle (2x-10)(x+4)^2(x-7) =0{\small .}\)
| \(\displaystyle 2x-10=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle (x+4)^2=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle x-7=0{\small ,}\) |
| \(\displaystyle x+4=0{\small ,}\) | ||||
| \(\displaystyle x_1=5{\small ,}\) | \(\displaystyle x_2=-4{\small ,}\) | \(\displaystyle x_3=7{\small .}\) |
Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции.
Так как знак неравенства нестрогий, все нули обозначаются закрашенными точками.
Получили \(\displaystyle 4\) интервала:
Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(2x-10)(x+4)^{2}(x-7)\) на каждом из полученных интервалов.
Из интервала \(\displaystyle (7;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\)
\(\displaystyle f(10)=(2\cdot10-10)(10+4)^{2}(10-7)=10 \cdot 14^2 \cdot 3 >0{\small .}\)
Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:
Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)
- Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
- При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
- если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
- если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.
В нашем случае в выражение
\(\displaystyle f(x)= (2x-10)(x+4)^{2}(x-7)=2(x-5)(x+4)^{\color{red}{2}}(x-7)\)
- множители \(\displaystyle (x-5)\) и \(\displaystyle (x-7)\) входят в первой (нечётной) степени, поэтому при переходе через точки \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7\) знак меняем на противоположный;
- множитель \(\displaystyle (x+4)=(x-(-4))\) входит во второй (чётной) степени, поэтому при переходе через точку \(\displaystyle -4\) знак не меняем.
В итоге получаем:
Решение неравенства \(\displaystyle (2x-10)(x+4)^{2}(x-7) \leqslant 0\) – объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна или равна нулю (то есть нули функции также являются решением нестрогого неравенства):
\(\displaystyle \{-4\} \cup [5; 7]{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in \{-4\} \cup [5; 7]{\small .}\)