Skip to main content

Теория: 05 Метод интервалов для рациональных неравенств: использование правила чередования знаков

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle (x-2)(5x-3)(x+7) \leqslant 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Для решения неравенства

\(\displaystyle (x-2)(5x-3)(x+7) \leqslant 0{\small }\)

воспользуемся методом интервалов.

 

Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)= (x-2)(5x-3)(x+7){\small .}\)

Решим уравнение

\(\displaystyle (x-2)(5x-3)(x+7)=0{\small .}\)

\(\displaystyle x-2=0{\small ,}\)или\(\displaystyle 5x-3=0{\small ,}\)или\(\displaystyle x+7=0{\small ,}\)
\(\displaystyle x_1=2{\small ,}\) \(\displaystyle x_2=0{,}6{\small ,}\) \(\displaystyle x_3=-7{\small .}\)

 

Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции.

Так как знак неравенства нестрогий, все нули обозначаются закрашенными точками.

Получили \(\displaystyle 4\) интервала:

 

Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= (x-2)(5x-3)(x+7)\) на каждом из полученных интервалов.

На интервале \(\displaystyle (2;+\infty)\) \(\displaystyle f(x)>0{\small ,}\) поэтому пишем знак плюс.

Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:

Правило

Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)

  1. Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
  2. При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
    • если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
    • если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.

В нашем случае в выражение

\(\displaystyle f(x)= (x-2)(5x-3)(x+7)=5(x-2)(x-0{,}6)(x+7)\)

все три линейных множителя входят в первой (нечётной) степени.

Значит, знаки функции на интервалах чередуются.

В итоге получаем:


Решение неравенства \(\displaystyle (x-2)(5x-3)(x+7) \leqslant 0\) — объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна или равна нулю (то есть нули функции также являются решением нестрогого неравенства):

\(\displaystyle (-\infty;-7] \cup [0{,}6;2]{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;-7] \cup [0{,}6;2]{\small .}\)