Решите неравенство:
\(\displaystyle (x-5)^4(x-2)^3(x+2)^2(x-7) \leqslant 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in\)
Для решения неравенства
\(\displaystyle (x-5)^4(x-2)^3(x+2)^2(x-7) \leqslant 0{\small }\)
воспользуемся методом интервалов.
Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)= (x-5)^4(x-2)^3(x+2)^2(x-7) {\small .}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle (x-5)^4(x-2)^3(x+2)^2(x-7) =0{\small .}\)
| \(\displaystyle (x-5)^4=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle (x-2)^3=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle (x+2)^2=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle x-7=0{\small ,}\) |
| \(\displaystyle x-5=0{\small ,}\) | \(\displaystyle x-2=0{\small ,}\) | \(\displaystyle x+2=0{\small ,}\) | ||||
| \(\displaystyle x_1=5{\small ,}\) | \(\displaystyle x_2=2{\small ,}\) | \(\displaystyle x_3=-2{\small ,}\) | \(\displaystyle x_4=7{\small .}\) |
Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции.
Так как знак неравенства нестрогий, все нули обозначаются закрашенными точками.
Получили \(\displaystyle 5\) интервалов:
Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-5)^4(x-2)^3(x+2)^2(x-7)\) на каждом из полученных интервалов.
Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:
Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)
- Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
- При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
- если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
- если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.
В нашем случае в выражение
\(\displaystyle f(x)=(x-5)^{\color{red}{4}}(x-2)^3(x+2)^{\color{red}{2}}(x-7)\)
- множители \(\displaystyle (x-2)\) и \(\displaystyle (x-7)\) входят в нечётных (третьей и первой соответственно) степенях, поэтому при переходе через точки \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 7\) знак меняем на противоположный;
- множители \(\displaystyle (x-5)\) и \(\displaystyle (x+2)\) входят в чётных (четвёртой и второй соответственно) степенях, поэтому при переходе через точки \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle -2\) знак не меняем.
В итоге получаем:
Решение неравенства \(\displaystyle (x-5)^4(x-2)^3(x+2)^2(x-7) \leqslant 0\) – объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна или равна нулю (то есть нули функции также являются решением нестрогого неравенства):
\(\displaystyle \{-2\} \cup [2;7]{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in \{-2\} \cup [2;7]{\small .}\)